A configuração das pastas tmp e logs do JOOMLA necessitam do caminho absoluto.

Acesse a administração do JOOMLA, vá em Site e clique em Configuração Global.

Será necessário ajustar o caminho físico na aba sistema e na aba servidor.

Como encontrar o caminho absoluto?

Você pode criar um arquivo na raiz do website com o nome (caminho.php) e com o seguinte conteudo:

 
$path = getcwd(); echo "Seu endereço tmp: "; echo ''. $path .'/tmp'; 
echo '
';
$path = getcwd(); echo "Seu endereço logs: "; echo ''. $path .'/logs';
?>

Após salvar o arquivo na raiz do website, você pode acessar dessa forma: http://www.seudominio.com.br/caminho.php

O resultado desse arquivo será algo assim:

Seu endereço tmp: /home/seudomino/htdocs/web/tmp
Seu endereço logs: /home/seudominio/htdocs/web/logs

Com este resultato, basta aplicar os caminhos na configuração do JOOMLA.